1- مقدمه

علوم مهندسی همواره در طول تاریخ با علم ریاضی پیوند داشته اند. این پیوند نیز به دلیل پایه های علوم مهندسی بوده است که بر فیزیک استوار هستند. مهندسی برق، مهندسی مکانیک، مهندسی عمران، مهندسی شیمی و دیگر رشته های مهندسی تا پیش از جنگ دوم جهانی، همگی در اصل فیزیک محور هستند. این امر امروزه نیز کماکان صادق است. تنها بعد از جنگ بود که به دلیل ضرورت های جامعه مدرن، رشته های میان رشته ای نظیر سیبرنتیک، بیونیک، مهندسی صنایع و تحقیق در عملیات متولد گردیدند. از ویژگی های بارز این رشته های جدید این بود که موضوع مطالعه شان سیستم های انسان ماشین بودند. طبیعتا با ورود انسان به مقوله های مهندسی، نیاز بود تا نوع نگاه به ریاضیات مورد استفاده در این شاخه های جدید نیز متحول گردد. همین موضوع باعث ایجاد تفاوتی بزرگ در رشته های سنتی مهندسی و رشته های جدید همانند مهندسی صنایع و حوزه هایی از مهندسی کامپیوتر نظیر هوش مصنوعی گردید. در علوم مهندسی برای کنترل پدیده ها باید آنها را به کمیت های قابل اندازه گیری تبدیل نمود. پدیده های فیزیکی از این منظر مشکلی ندارند یا دارای حداقل مشکل می باشند. ولی ایجاد قابلیت اندازه گیری در پدیده های بر پایه عواطف و اعمال انسانی بحث دیگری دارد. همین امر کار رشته های مهندسی را که با سیستم انسان-ماشین سروکار دارند بسیار دشوار می نماید.

این امر بدین معنا نیست که مهندسی صنایع از همان ابزارهای متداول ریاضی در دیگر رشته های مهندسی استفاده نمی کند و یا آنکه نیازمند ابزارهای ریاضی متفاوتی است. حوزه هایی چون قابلیت اطمینان و کنترل کیفیت، برنامه ریزی موجودی ها، برنامه ریزی نگهداری و تعمیرات و دیگر شاخه های مشابه، به نحوی گسترده از ابزارهای ریاضی متعارف استفاده می کنند. ولی زمانی که به امور انسانی نظیر ابهام و ایهام  در قضاوت پرداخته می شود، بلافاصله با تئوری مجموعه های فازی و تئوری شواهد مواجه می گردیم که دنیای ریاضی گسترده خود را دارند.

این نوشته تلاش دارد تا با تمرکز بر مهندسی صنایع، تفاوت های عمیق این رشته را در زمینه به کارگیری ریاضیات با رشته های کلاسیک مهندسی مورد مطالعه قرار دهد.

2- فیزیک و فلسفه

چه تفاوت عمده ای بین فیزیک و فلسفه وجود دارد؟ علم فیزیک تبیین ارائه نمی کند، بلکه توصیف های ریاضیاتی دقیق از پدیده های مشاهده پذیر به دست می دهد. فلسفه  درباره درباره پدیده های مشاهده پذیر پژوهش نمی کند. اگر بتوان پرسشی را با مشاهده پاسخ داد، آن پرسش نه یک پرسش فلسفی که یک پرسش علمی است.

فلسفه با پرسش های پیشینی (A priori) سروکار دارد، یعنی پرسش هایی که مفهومی اند و پیش از تجربه مطرح می شوند مثلا پرسش از ارزش ها.

فلسفه دارای چهار شاخه می باشد: منطق، معرفت شناسی، متافیزیک، ارزش شناسی (Axiology)

منطق یعنی پژوهش درباره استدلال خرد پسندانه، یعنی چه حقایقی را می توان از سایر حقایق نتیجه گرفت و با چه میزانی از قطعیت این نتیجه گیری اتفاق می افتد.

معرفت شناسی به معنای پژوهش در معرفت (دانش) است، مثلا اینکه دانش چیست؟ چه چیزهایی را می توان دانست؟ آیا اصلا می توان چیزی را دانست؟

متافیزیک به معنای پژوهش در واقعیت است و به پرسش از وجود و ماهیت چیزهایی که وجود دارند می پردازد. مثلا اینکه آیا ورای تجربه های درونی ما از جهان، جهانی وجود دارد؟ آیا اختیار وجود دارد؟

ارزش شناسی به معنای پژوهش در داوری هاست. فلسفه اخلاق (اخلاق شناسی) و زیبایی شناسی نیز در ذیل ارزش شناسی قرار می گیرند. اخلاق شناسی یعنی پژوهش در باب ارزش های داوری های مربوط به درست یا نادرست بودن اعمال آزادانه انسان ها. زیبایی شناسی به معنای پژوهش درباره ارزش داوری های مربوط به زیبایی است.

علم فیزیک هم برای خود صاحب فلسفه است. فلسفه فیزیک در هر چهار شاخه  پرسش هایی را مطرح کرده است، ولی عمده فعالیت آن در دو شاخه متافیزیک و معرفت شناسی است.

علم و بخصوص علم فیزیک تداعی کننده ریاضیات می باشد. پیوند علم و ریاضی آنقدر تنگاتنگ است که در اصطلاح به آن STEM گفته میشود که مخفف علم، تکنولوژی، مهندسی و ریاضیات می باشد:

STEM: Science, Technology, Engineering and Mathematics

امروزه نمی توان فیزیک و ریاضیات را از هم جدا نمود، ولی مطالعه تاریخ فیزیک نشان می دهد که همواره اینچنین نبوده است. از قرن هجدهم بود که تازه شاهد پدید آمدن فیزیک ریاضیاتی بودیم. تا قبل از آن، فیزیک را همچون فلسفه می دانستند و به کار بستن ریاضی در فیزیک بسیار محدود بود و عمدتا در اختر شناسی اتفاق می افتاد. اختر شناسان یونان باستان و بخصوص اخترشناسان مسلمان سده های میانه از مثلثات کروی برای محاسبات پیچیده پیش بینی حرکات اجرام سماوی استفاده می کردند. ولی به جز این موضوع، ریاضیات اصلا در فیزیک جایی نداشت.

گالیله برای نخستین بار این وضعیت را تغییر داد و برای فیزیک معادله ریاضی تعریف کرد. او اولین کسی بود که برای گرانش سقوط آزاد اجسام یک معادله ریاضی ساخت.

[math]{x=}\frac{-1}{2}{g}{t}^{2}+{v}_{0}{t}+{x}_{0}[/math]

محدودیت این معادله این بود که فقط برای اجسام با حرکت مستقیم کاربرد داشت. معادله ای برای پرتابه ها وجود نداشت.

رنه دکارت این وضع را دگرگون نمود و هندسه تحلیلی را عرضه کرد. تا پیش از دکارت ریاضیات دو شاخه مجزا داشت: نظریه اعداد و هندسه.

دکارت توانست این دو شاخه را به زبان یکدیگر ترجمه کند و برای اولین بار نمودارها و معادلات خطوط و سهمی ها و دایره ها را بیان نمود.

ابزار قدرتمند بعدی در ریاضیات توسط نیوتن و با معرفی حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) ایجاد گردید. حسابان توانست فیزیک را به طور کامل ریاضیاتی کند.

ولی تمام دانشمندان نسبت به این فرآیند ریاضیاتی شدن فیزیک نظر مساعدی ندارند.

یوجین ویگنر در سال 1902 در بوداپست متولد شد. وی دستیار دیوید هیلبرت بود و در وارد کردن ریاضیات در فیزیک نقشی اساسی داشت. نظریه گروه ها و مفهوم تقارن در ذرات بنیادی از کارهای برجسته ویگنر است. وی در سال 1963 جایزه نوبل دریافت کرد.

ویگنر در سال 1960 مقاله ای نوشت تحت عنوان “کارآیی بی دلیل ریاضی در علوم طبیعی”. وی در این مقاله نکته ای کلیدی را مطرح کرد: “اولین نکته این است که مفید بودن بی اندازه ریاضی برای علوم طبیعی انگار امری اسرارآمیز است که توضیح خردپسندانه ای برای آن وجود ندارد.”

3- چرا ریاضیات تا بدین درجه با فیزیک عجین است؟

ریاضیات مجال این را فراهم می کرد که به پیش بینی های نامنتظره در فیزیک برسیم و قدرت باورنکردنی در این کار از خود نشان می داد. پیش بینی هایی که تقریبا همیشه درست از کار درمی آیند. ریاضیات چه دارد که موجب رقم خوردن این اتفاق میشود؟

از دید ویگنر موضوع این است که فیزیک و ریاضی به طور کل دو پروژه کاملا متفاوت هستند و همین موضوع را عجیب تر می کند.

ریاضی و فلسفه به هم شباهت دارند، از این نظر که هر دو بازی مفهومی مستقل و قائم به ذات می باشند. فلاسفه و ریاضی دان ها مفاهیمی را ابداع می کنند و نیز قواعدی که این قواعد بر بازی شان با آن مفاهیم حاکمند. بعد شروع می کنند به بازی کردن.

شاید ریاضیات کارش را با مفاهیمی برگرفته از جهان شروع کند، مثلا شمردن انگشتان دست، ولی در جهان ریاضی دان های واقعی مفاهیم به شدت اشتقاقی و انتزاعی هستند که هیچ پیوند ذاتی با هیچ چیزی در جهان ندارند. هیچ پلی در جهان به طول منفی چهار متر وجود ندارد.

درست است که مفاهیمی در ریاضیات وجود دارند که با جهان واقعی در پیوند هستند، مثلا عمل جمع زدن چیزها. همین جمع زدن می تواند ما را به عمل ضرب برساند، ضرب هم منجر به مربع شود. ولی واقعا جذر عدد منفی یعنی چه؟ چه مصداقی در دنیای واقعی دارد؟ اعداد موهومی چیستند؟

با این حال ریاضی دانها دوست دارند به آنالیز اعداد مختلط بپردازند، چرا؟ چون ریاضی دان هستند و به این بازی جالب علاقه دارند.

معمولا ریاضی دان ها یک جهان موهومی برای خودشان می سازند، صرفا با این هدف که ببینند در این جهان موهومی چه رخ خواهد داد.

ولی نکته عجیب در اینجاست که برخی از نظریه ها در فیزیک و مهندسی، مانند مکانیک کوانتومی یا تحلیل مدارهای AC در مهندسی برق، ضرورتا بایستی از اعداد موهومی استفاده کنند.

چگونه ممکن است که مفاهیم یک جهان موهومی، در توصیف رفتار اشیای واقعی در این جهان، چنین نقش برجسته ای را ایفا کنند.

مکس تگمارک توضیحی برای این موضوع دارد. خود جهان یک نظام ریاضیاتی است.

مثالی را در نظر بگیرید: در نظریه نسبیت، زمان و مکان در قالب یک هویت واحد به نام فضا – زمان در هم می آمیزند. در معادلات نشان دهنده فضا – زمان، سه بعد مکانی با علامت منفی و بعد زمان با علامت مثبت نشان داده می شود. حال اگر یکی از این منفی ها به مثبت تبدیل گردد، باز به هم خوبی معادلات جواب خواهند داد، ولی کیهانی خواهیم داشت مسطح و با دو زمان متفاوت!

این کیهان چه شکلی خوهد بود؟ یعنی در یک دنیای مسطح از یک مسیر واحد می توان در دو زمان متفاوت به مقصد  رسید.

ویتگنشتاین در رساله منطقی – فلسفی خود می نویسد ” دلیل موفق بودن منطق این است که میان ساختار درونی روابطی که واقعیت را ساخته اند، با ساختار درونی سرشت منطق همبستگی وجود دارد.”

منطقی که در ذات زبان ماست بازتاب ساختار درونی جهان است و ما جهان را با استفاده از منطق توصیف می کنیم.

تگمارک شبیه بحث ویتگنشتاین را در خصوص فیزیک و زبان ریاضی که آنرا توصیف می کند مطرح نموده است. تگمارک دو فرضیه را مورد بررسی قرار می دهد:

1) فرضیه واقعیت خارجی

External Reality Hypothesis (ERH)

2) فرضیه کیهان ریاضیاتی

Mathematical Universe Hypothesis (MUH)

بنا به فرضیه واقعیت خارجی، واقعیت مادی خارجی وجود دارد و کاملا از ما انسان ها مستقل است. به بیان دیگر مثلا وقتی به یک صندلی نگاه می کنیم و یک صندلی می بینیم، دلیل آن این است که مستقل از من و تجربه های من، یک صندلی وجود دارد که می بینیم.

تقریبا تمامی فیزیکدانها (به استثنای حلقه کوپنهاگ) و عقل عرفی، این حرف را می پسندند.

در توضیح فرضیه دوم، حال یک نظریه را در نظر بگیرید: هر نظریه از دو بخش تشکیل شده است، یک بخش محتوای ریاضیاتی دقیقی است که در پی آن است که جهان را آنچنان که هست توصیف کند.

بخش دیگر، بخشی است که تگمارک به آن “بار و بنه” یا Baggage می گوید. یعنی جنبه هایی که ما از آنها استفاده می کنیم تا آن نظام صوری را به تجربه هایمان پیوند بزنیم. بار و بنه نظریه های ما همان بخش هایی هستند که به تجربه بشری اشاره دارند.

هدف علم این است که در نهایت نظریه ای را بسازد که تمامی این بار و بنه از آن نظریه جدا شده باشند.

برای جدا کردن این بار و بنه از نظریه، باید فرضیه دوم یعنی فرضیه کیهان ریاضیاتی را بپذیریم، یعنی واقعیت خارجی یک سازه ریاضیاتی است.

جمله تگمارگ شامل سه بخش می باشد:

– واقعیت خارجی. یعنی همان بخشی که از فرضیه واقعیت خارجی می آید.

– سازه ریاضیاتی (mathematical structure)، که به معنای نظامی بی بار و بنه از مفاهیم انتزاعی در نظامی معین از روابط است.

– کلمه “است”. این کلمه معانی مختلفی را دارد، “است” محمولی داریم مانند “توپ قرمز است”. قرمز بودن ویژگی توپ است.

“است” این همانی هم داریم. مثلا “او علی است” یعنی او و علی به یک چیز ارجاع می دهند، یعنی به علی. کلمه “است” در فرضیه کیهان ریاضیاتی همان “است” این همانی است، ولی این همانی ریاضیاتی.

دو سازه ریاضیاتی این همان اند اگر بتوان آنها را بر هم و در هم منطبق کرد. نگاشت برهم فکنانه یعنی هر عضو در سازه ریاضیاتی دوم، نظیری در سازه ریاضیاتی اول دارد.

نگاشت درهم فکنانه یعنی اعضای گوناگون در سازه ریاضیاتی نخست بر اعضای گوناگون در سازه ریاضیاتی دوم منطبق می شوند. ممکن است هر دو نوع نگاشت بین دو سازه برقرار باشند که در اینصورت به آن نگاشت دو سویه گفته می شود و دو سازه همریخت (همومرف)  یا این همان هستند. به بیان دیگر واقعیت خارجی و سازه ریاضیاتی همریخت هستند.

بر اساس رویکرد تگمارک، به دو شیوه می توان کار علمی انجام داد: یکی اینکه با بار و بنه شروع کنیم، یعنی به کیهان اطرافمان بنگریم و ببینیم چه اتفاقاتی در آن می افتد، و سپس به نظریه هایی برسیم که آن وقایع را توضیح می دهند. در این حالت به تدریج نظریه های بهتر و بهتری را می سازیم و رفته رفته بار و بنه را کنار گذاشته و هر چه بیشتر نظریه های ریاضیاتی ناب تر و انتزاعی تری را درست می کنیم.

به عقیده تگمارک اگر علم موفق باشد، می تواند نظام ریاضیاتی را خلق کند که با جهانی که توصیفش می کند همریخت باشد و این یعنی اینکه جهان ما واقعا یک نظام ریاضیاتی است.

حال می توانیم به سئوالی که در ابتدا مطرح کردیم پاسخ دهیم. چرا استفاده از ریاضی در فیزیک اینقدر خوب جواب می دهد؟

چون علم فیزیک توصیف جهانی است که خود آن جهان یک نظام ریاضیاتی است. هر چیز دیگری غیر از ریاضی صرفا بار و بنه

“نظام های خودآگاه A Self-Aware Systems (SAS)” یعنی بار و بنه انسانهاست.

تمامی علوم مهندسی که بر پایه فیزیک قرار دارند، نظیر مهندسی برق و مهندسی مکانیک، بنا به نظر تگمارک، در سپهر کیهان ریاضیاتی قرار می گیرند و به همین جهت نیز به شدت با ریاضیات عجین شده اند و امکان جدا نمودن آنها از ریاضی وجود ندارد. به بیان تگمارک، آنها در کمتری میزان ممکنه از بار و بنه استفاده می کنند.

ولی در خصوص مهندسی صنایع موضوع متفاوت است. عمده سر و کار مهندسی صنایع با سیستم های انسان ماشین و امور انسانی مبتنی بر قضاوت ها قرار دارد. آیا می توان امور انسانی را به فرآیندی محاسباتی تبدیل کرد؟ چه نوع ریاضیاتی باید در این حوزه به کار گرفته شود؟

4- قضاوت انسانی و ریاضیات

بنا به عقیده تگمارک، امور انسانی نقش بار و بنه را دارند که بایستی در جهان ریاضیاتی به تدریج کنار گذارده شوند. ولی واقعیت امر این است که بخش بزرگی از رشته مهندسی صنایع با همین امور انسانی و بار وبنه سر و کار دارد. تفاوت اساسی مهندسی صنایع با رشته های مدیریت دراین است که به عنوان یک رشته مهندسی، بایستی این توانایی را داشته باشد که با اعداد حاصل از اندازه گیری های گوناگون فرآیندهای محاسباتی مخصوص به خود را پیش ببرد. لذا باید بدانیم که چگونه امور انسانی را اندازه گیری کنیم و چگونه فرآیندهای محاسباتی خاص انها را طراحی نماییم. این بخش از کار بسیار با واقعیت های فیزیک و ریاضیات آن فاصله می گیرد و ریاضیات نه از نوع دیگر، بلکه با ویژگی های دیگر را طلب می کند.

علیرغم این واقعیت، تمامی اندیشمندان بدینگونه نمی اندیشند و اعتقادی به ترجمان ریاضی امور انسانی دارند. آنها اعتقاد دارند که قضاوت انسانی نمی تواند با محاسبات جایگزین شود چرا که این قضاوت انسانی بوده است که ساختارهای محاسباتی را پدید آورده است و به آنها معنا داده است.

با در نظر گرفتن مفهوم فلسفی قضاوت انسانی، روشن میشود که ویژگی قضاوت در ارائه معنا و هدفمندی، بر اساس موقتی بودن زندگی انسان و سربسته بودن زبان می باشد. هیچیک از اینها قابلیت کمی سازی را ندارند.

هانا آرنت کشف قوانین برای توضیح دادن حقایق سیاسی و تاریخی را با استفاده از محاسبات و ریاضیات، به شیوه فیزیکدانان، امری غیر واقع بینانه می داند.

ویزنبام نیز اعتقاد داردکه همسان فرض کردن قضاوت و محاسبات، ناشی از همسان فرض کردن تراژیک عقلانیت و منطق توسط فرانسیس بیکن بوده است.

نگرانی هانا آرنت نیز این است که داده سازی و قابل محاسبه فرض کردن امور انسانی، منجر به جایگزین شدن قضاوت با محاسبه شده است، حتی اگر این محاسبه ظاهرا صورت عینی داشته باشد. آیا اجازه داریم فرض کنیم که می توان قضاوت را به سطح فرآیندهای کمی و محاسبه پذیر کاهش دهیم؟

5- برای امور انسانی به چه ویژگی هایی در ریاضیات نیاز داریم؟

برای مطالعه ویژگی های مورد نیاز در ریاضیات مرتبط با امور انسانی که در مهندسی صنایع کاربرد بسزایی دارد، لازم است ابتدا از برخی مفاهیم اولیه آغاز کنیم.

5-1- اعداد و ترجیحات

بسیاری از مدلها در مهندسی صنایع و تصمیم گیری بر اساس دو مفهوم مهم ریاضی قرار دارند: عددها و روابط.

موضوع بحث در اینجا کاربرد اعداد جهت نشان دادن وجوه مختلف واقعیت و کفایت آنها جهت انجام محاسبات روی این واقعیت ها می باشد.

5-2- اعداد

موفقیت ریاضیات در تعریف و توضیح سیستم خورشیدی (به عنوان مثال پیش بینی مسیر ستاره دنباله دار هالی) باعث گردید تا نقش ریاضیات در تعریف دیگر فرآیندهای طبیعی نظیر الکترو مغناطیس، طبقه بندی کریستال ها، انتشار حرارت و غیره به سرعت توسعه یابد.

با توسعه نقش ریاضیات در علوم طبیعی، کندرست (Condorcet) مفهومی را توسعه داد که با عنوان ریاضیات اجتماعی

(Social Mathematics) معروف گردید. وی اعتقاد داشت که این نظم جدید باعث توسعه رفاه و پیشرفت انسانیت خواهد شد.

امروزه ریاضیات در تمامی حوزه های فعالیت های انسانی به کار برده می شود. این کاربرد نه فقط برای محاسبات، بلکه در آموزش، متدولوژی و شیوه های تفکر انسان ها می باشد. امروزه همگی ما با اعداد، درصدها، نسبت ها، استنتاجهای منطقی، آمار و غیره استدلال می کنیم.

نخستین کاربرد اعداد در شماره گذاری می باشد (اول، دوم، …) که وجه ترتیبی (Ordinal) اعداد می باشد. دومین کاربرد اعداد طبیعی (اعداد صحیح غیر صفر و مثبت) در شمارش اشیاست  (Cardinal) .

در این وجه از اعداد امکان برخی از عملیات ریاضی پایه نظیر جمع و تفریق روی اعداد وجود خواهد داشت.

ولی اصلی ترین کاربرد اعداد به یکی از طبیعی ترین فعالیت های انسانی بازمی گردد، یعنی اندازه گیری. اندازه گیری به ما اجازه می دهد تا پدیده ها را کمی کنیم و با انجام محاسبات به درک بهتری از محیط اطراف خود جهت مدیریت موثرتر آن دست یابیم.

اندازه گیری وزن، طول یا حجم برای انجام مبادلات تجاری از ضروریات محسوب می گردد. اندازه گیری حرارت، زمان یا جریان برای تعریف پدیده های فیزیکی ضروری می باشد. اندازه گیری ثروت، میزان بیکاری یا میزان تولید برای تحلیل اقتصاد ضروری است. اندازه گیری آلودگی، سر و صدا و یا تراکم پوشش گیاهی جهت مدیریت محیط زیست امری است الزامی.

اعداد برای اندازه گیری صدها مورد دیگر هم به کار می روند. استفاده از اعداد در علوم اجتماعی، این سئوال را مطرح می کند که چگونه می توان ویژگی های انسانی یا اجتماعی نظیر رضایت، ریسک گریزی، ترجیح، انسجام گروهی و غیره را اندازه گیری نمود؟ برخلاف علوم طبیعی، هیچ اجماعی واقعی در خصوص اینکه اندازه گیری چه معنایی در علوم اجتماعی می تواند داشته باشد، وجود ندارد.

آیا شیوه اندازه گیری مرتبط با هدف فرآیند می باشد (تشریح واقعیت، ساختن مدلها یا قوانین، پشتیبانی تصمیم)؟

آیا دو نسخه نویسی از اشیا اجتماعی معنایی هم دارد ؟ مثلا گزاره “دو سیب دارای وزن یکسان هستند” دارای معناست، ولی اینکه “دو نفر ترجیح یکسان دارند” آیا معنا دارد؟

چگونه می توان اندازه ها را با هم مقایسه یا در هم ادغام نمود؟ وزن یک سبد سیب در مقابل ترجیحات یک گروه از انسان ها به چه معناست؟

این موضوع هنگامی جدی تر می شود که نقش اعداد را در سیستم های رای گیری، در ارزیابی دانش آموزان، در مطالعه توسعه یک کشور، در کیفیت هوا یا یک سیستم تصمیم گیری خودکار به یاد آوریم.

واضح است که نمی توان با اعدادی که اندازه را نشان می دهند برخورد یکسانی داشت چرا که اطلاعات زیر بنایی برای آنها از زمینه ای به زمینه دیگر می توانند کاملا متفاوت باشند. در ذیل چهار مقیاس عددی اصلی را که در تئوری اندازه گیری کاربرد دارند مورد بررسی قرار می دهیم.

5-3- مقیاس های عمده در اندازه گیری

جدول 1- مقیاس های اندازه گیری

مقیاس	ویژگی اندازه	اپراتورهای ریاضی	عملیات پیشرفته	تمرکز	پراکندگی
nominal	طبقه بندی، عضویت	= ، ≠	گروه بندی	نما	آنتروپی
ordinal	مقایسه، سطح بندی	≤ ، ≥	سورتینگ	میانه	دامنه تغییرات
interval	تفاوت، قرابت	– ، +	مقایسه با یک مقدار استاندارد	میانگین حسابی	واریانس (انحراف از معیار)
ratio	مقدار، بزرگی	/ ، ×	نسبت	میانگین هندسی	ضریب انحراف

مقیاس Nominal مقیاسی است Qualitative ، در حالیکه مقیاس های Ordinal, Interval, Ratio همگی مقیاس های Quantitative  هستند.

دسته بندی فوق یک دسته بندی کلاسیک می باشد که توسط Stanley Smith Stevens  در سال 1964 میلادی ارائه گردیده است.

یادآوری می شود که اندازه گیری را به معنای تخصیص اعداد به اشیا یا پیشامدها در نظر می گیریم.

5-3-1- از مقیاس nominal برای برچسب گذاری متغیرها در طبقه های متفاوت استفاده می شود. اعداد برای تشخیص و طبقه بندی افراد، اشیا و پیشامدها به کار می روند. نظیر شماره شناسنامه و شماره خودرو. این اعداد هیچ معنا و مفهومی در ارزش عددی ندارند. از این اعداد می توان جهت جنسیت، گروه خونی، حزب سیاسی، وضعیت تاهل و غیره استفاده نمود.

فاصله مابین این اعداد و ترتیب آنها فاقد هر گونه اهمیتی می باشد. تنها اپراتور ریاضی که می توان برای این اعداد استفاده نمود تساوی یا عدم تساوی است.

5-3-2- در مقیاس ordinal اعداد به متغیرها اختصاص داده می شوند تا آنها را رتبه بندی نماییم و جایگاهشان را میان دیگر داده ها معلوم کنیم. مثلا رتبه بندی دانشجویان از نظر درسی، رتبه بندی کلامی میزان رضایت از یک محصول ( بسیارکم، کم، متوسط، زیاد، بسیار زیاد). در این مقیاس امکان ایجاد ترتیب صعودی یا نزولی مابین متغیرها وجود دارد.

این مقیاس فاقد مبدا یا true zero می باشد، لذا امکان تشخیص فاصله مابین اعداد یا بزرگی اعداد در آن وجود نخواهد داشت. اپراتورهای ≥ و ≤ می توانند در این مقیاس کاربرد داشته باشند. در عین حال می توان از تحلیل های توصیفی نظیر درصد، چارک، میانه و نما در این مقیاس استفاده نمود.

در ضمن امکان استفاده از ضریب همبستگی اسپیرمن هم وجود دارد. تست های غیر پارامتریک نظیر مان – ویتنی، فریدمن، ANOVA ، کروکسال والیس هم وجود دارد.

5-3-3- مقیاس Interval را می توان مقیاس Quantitative دانست چرا که در آن هم ترتیب و هم فاصله دقیق مابین اعداد دارای مفهوم می باشد. در مقیاس بازه ای، نقطه آغازین و یا Zero Point به صورت دلخواه تعیین می گردد و True Zero یا Absolute Zero نیست. در عین حال در این مقیاس ارزش صفر به معنای وجود نداشتن مطلق نیست.

مثلا در مقیاس سلسیوس / فارنهایت اندازه گیری دما، صفر درجه به معنای فقدان درجه حرارت نیست. حتی در این مقیاس مقادیر منفی هم می توانند قابل تعریف باشند. حرارت، سالهای تقویم، نگرش ها و نظرات همگی می توانند در این مقیاس قرار گیرند. مقیاس Likert ، Net Promoter Score (NPS) ، جدول ماتریس Bipolar ، Semantic Differential Scale دارای کاربرد وسیعی در این نوع مقیاس هستند. جمع و تفریق می توانند برای این مقیاس کاربرد داشته باشند، ولی امکان ضرب و تقسیم در آن وجود ندارد.

مثلا نمی توان 100 درج فارنهایت را دو برابر گرمتر از 50 درجه فارنهایت دانست (معادل 100 درجه فارنهایت 37.78 درجه سانتیگراد، و معادل 50 درجه فارنهایت هم 10 درجه سانتیگراد می باشد که به روشنی دو برابر همدیگر نیستند).

هر نوع تبدیلی همچون a+bx می تواند خواص اعداد در مقیاس بازه ای را حفظ نماید. میانگین حسابی، میانه  و نما می توانند به عنوان شاخص های تمرکز در این مقیاس به کار روند. برای پراکندگی می توان از انحراف از معیار و دامنه تغییرات استفاده نمود. به غیر از این، همبستگی product-moment و تست t و رگرسیون به وفور در این مقیاس مورد استفاده قرار می گیرند.

5-3-4- مقیاس نسبت(Ratio Scale) یک مقیاس کمی است که تمام ویژگی های مقیاس بازه ای به همراه true zero را به همراه خود دارد.متغیرهایی نظیر طول، سن، وزن، درآمد، قیمت و غیره در این زمره هستند.

به دلیل وجود مبداء absolute zero ، اعداد منفی در این مقیاس قابل تعریف نیستند.صفر در این مقیاس معنادار است. تبدیلy=bx  در این مقیاس قابل انجام می باشد. وجود صفر مطلق اجازه انجام بسیاری از عملیات آماری توصیفی و استنباطی را می دهد. اختلاف اعداد دارای معناست و می توان عملیات ریاضی نظیر جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را در آن عملی نمود.

شاخص های تمرکز نظیر میانگین هندسی، میانگین هارمونیک و شاخص های پراکندگی نظیر ضریب تغییرات قابل انجام هستند.  آمارهای پارامتریک در این مقیاس قابل پیاده سازی می باشند.

6- قضاوت

تعاریف متفاوتی برای قضاوت وجود دارند، ولی با هدف قضاوت در تصمیم گیری، تعریف زیر را از قول کانمن نقل میکنم:

“عملیاتی که مقداری در یک مقیاس را به یک برداشت ذهنی، یا وجهی از آن برداشت، نسبت می دهند.”

کانمن این امر را همانند سازی (Matching) می نامد. بعضی از مقیاس هایی که برای ابراز قضاوت ها استفاده میشوند کیفی هستند، نظیر حرفه ها، غذاهای مورد علاقه و غیره. این مقیاس را قبلا Nominal نامیدیم و دیدیم که دارای ترتیب نیستند.

در عین حال دیدیم که مقیاس های بازه ای و نسبتی مناسب متغیرهای فیزیکی و کمی می باشند. حتی قضاوت هایی در زمینه های انتزاعی تر نظیر اطمینان، قدرت، جذابیت، خشم، ترس، بی اخلاقی و غیره هم میتوانند در زمره مقیاس های قابل کمی شدن و دارای قابلیت مرتب شدن در یک scale قرار بگیرند.

نکته مهم در اینباره این است که این ترتیب در مقیاس، ذاتی این متغیرها نیست و قضاوت های ما انسان هاست که موجد ترتیب ها میشود. مثلا اینکه حافظ را بیشتر از سعدی دوست دارم، یک ترتیب ذاتی مابین حافظ و سعدی نیست، بلکه ترتیبی است بر مبنای قضاوت فردی که از فردی به فرد دیگر می تواند متفاوت باشد.

انسان قابلیت شهودی فوق العاده ای برای همانند سازی شدت ها در ابعاد مختلف دارد، به گونه ای که می تواند یک مقیاس شدت را با دیگری منطبق نماید. یک انسان می تواند شدت علاقه اش را به غذا با شدت علاقه اش به یک تیم ورزشی همانند سازی کند.

این توانمندی فوق العاده ممکن است مشکلاتی را هم به همراه داشته باشد. توانایی محدود ما در تفکیک مقوله ها در مقیاس های شدت باعث می شود دقت در عملکرد همانند سازی با محدودیت های جدی مواجه باشد. فراموش نکنیم که بخش عمده ای از تصمیم گیری های ما در حوزه مهندسی صنایع که با امور انسانی سرو کار دارند، بر پایه انواع همانند سازی ها بنا نهاده می شوند. کانمن نام این مشکلات را نویز می نامد.

این همانند سازی ها هم به نوبه خود سیستم اندازه گیری را برایمان می سازند و خوراک اولیه را جهت تصمیم گیری ها و بهینه سازی ها در مهندسی صنایع فراهم می نمایند. لذا شناخت فرآیندهای همانند سازی،  مقیاس های آنها و ریاضیات مناسب، می تواند ما را به درک عمیق تری از بار سنگین وظایفی که بر دوش مهندسی قرار دارند برساند.

مراجع:

1- پرسش های بزرگ فلسفه و فیزیک، استیون گیمبل ترجمه کاوه بهبهانی، انتشارات طرح نو، 1401

2-Stader, D. (2024). Algorithms don’t have a future: On the relation of judgement and calculation. Philosophy & Technology, 37(1), 21

3-Stevens, S. S. (1968). Measurement, statistics, and the schemapiric view. Science, 161(3844), 849-856.

4-Anjano B.S. (2022). Scales of Measurement in Research, University of Kerela, Department of Economics.