1- مقدمه

در تئوری کلاسیک (لاپلاسی) احتمالات، مقدار عددی احتمال برابر است با کسر حاصل از تقسیم تعداد وجوه مطلوب بر تعداد وجوه متساوی الامکان. با این حال مشکل می توان این تعریف را تفسیر روشنی از معنای احتمال دانست. زیرا در این تعریف چندین تفسیر متفاوت نهفته است که می توان آنها را به تفسیرهای ذهنی و عینی دسته بندی نمود.

اصطلاحاتی چون امید ریاضی و قانون هنجارمندی خطاها که طنین روانشناسانه گرایی دارند، نفسیر ذهنی تئوری احتمالات را القاء می کنند. درجه احتمال در این تفسیر، بیانگر ظن و قطع و یا شک و یقینی است که مدعیات یا حدسیات را در ما برمی انگیزند.

لفظ محتمل را در برخی از گزاره های غیر عددی به خوبی می توان بدین معنا گرفت، ولی این تفسیر در مورد گزاره های احتمالی عددی قانع کننده نیست.

گزاره های احتمالی عددی گزاره هایی هستند نظیر این جمله که احتمال آمدن یازده در انداختن دو تاس سالم برابر یک هجدهم می باشد. نمونه ایی از گزاره های احتمالی غیر عددی را می توان گزاره “کشف پدیده ای فیزیکی که تئوری کوآنتم را نقض کند بسیار نامحتمل است” دانست.

گونه جدیدتری از تقسیر ذهنی هست که شایسته بحث جدی تری می باشد. بنا بر این تفسیر جدید، گزاره های احتمالی منطقا و نه ازجهت روانشناسانه گرایی، از نزدیکی منطقی گزاره ها خبر می دهند. گزاره ها نسبت های گوناگونی از قبیل استنتاج پذیری، تضاد و یا استقلال به یکدیگر دارند. تئوری ذهنی منطقی که نماینده برجسته آن کینز می باشد، نسبت احتمال را نوعی نسبت منطقی میان گزاره ها می داند.

استنتاج پذیری و تناقض، دو حد نهایی نسبت احتمال هستند. اگر گزاره p نتیجه گزاره q باشد، گزاره q احتمال 1 را به p می دهد. و چنانچه p و q متناقض باشند، p به q احتمال صفر را خواهد داد. سایر نسبت های احتمال مابین این دو حد قرار می گیرند. با داشتن q یعنی گزاره ای که احتمال p به آن وابسته است و احتمالی را به p می دهد، هر قدر مضمون p از مضمون q کمتر دور باشد، احتمال عددی گزاره p بیشتر خواهد شد.

قرابت این تئوری با بینش روانشناسانه را از آنجا می توان دریافت که کینز، احتمال را درجه اعتماد معقول تعریف می کند. درجه اعتماد معقول اعتماد ناشی از اطلاعات یا معرفت حاصل از گزاره q نسبت به گزاره p می باشد (گزاره q همان گزاره ای است که احتمالی را به p نسبت می دهد).

تفسیر عینی (objective) احتمال، هر گزاره احتمالی عددی را گزاره ای می شمارد که از بسامد نسبی وقوع رویدادی خاص در دنباله ای از پیشامدها خبر می دهد. بنا بر این تفسیر، گزاره “احتمال آمدن عدد 5 در پرتاب بعدی تاس برابر با یک ششم می باشد”، در واقع نه از پرتاب بعدی، بلکه از کل مجموعه پرتاب هایی خبر می دهد که پرتاب بعدی صرفا عضوی از اعضای آن است. مفاد این گزاره آن است که بسامد نسبی (یا فراوانی نسبی) آمدن عدد 5 در این مجموعه از پرتاب ها، برابر با یک ششم می باشد.

بنا بر این تئوری، گزاره احتمالی عددی مجاز، آن است که بتوان تفسیری بسامدی (فراوانی) از آن به دست داد.

2- مساله اساسی تئوری پیشامدهای تصادفی

مهمترین کاربرد تئوری احتمالات در مورد رویدادها یا پیشامدهایی است که آنها را تصادفی می نامیم. صفت بارز اینگونه رویدادها یا پیشامدها آن است که به طرز شگفت انگیزی حساب ناشدنی اند و آدمی پس از بارها ناکام ماندن در پیش بینی شان، ناگزیر باور می کند که جمیع روش های عقلی شناخته شده در پیش بینی آنها ناموفق خواهد بود. گویی پیش بینی آنها نه کار عالمان، که در شان کاهنان است.

لیکن همین بی حسابی اینگونه رویدادها، ما را بر آن می دارد که به حساب احتمالات متوسل شویم. حساب کردن امور بی حساب (یعنی به کار بردن حسابی خاص در این موارد) غریب می نماید. درست است که با پذیرفتن تئوری ذهنی، دیگر غرابتی در میان نخواهد ماند، ولی این شیوه غرابت زدایی بسیار ناخوشایند است. زیرا بر این دلالت می کند که گویی حساب احتمالات برخلاف سایر روش های علوم تجربی، روشی برای انجام پیش بینی های حساب شده نیست، بلکه بنا بر تئوری ذهنی، حساب احتمالات صرفا روشی است برای انجام تبدیلات منطقی بر روی دانسته ها (بلکه بر روی نادانسته ها، زیرا این تبدیلات را هنگامی که درباره مطلبی دانش کافی نداریم انجام می دهیم).

اگر اینگونه مساله را ببینیم، دیگر غرابتی در میان نخواهد ماند. لیکن معلوم نمی شود که اگر گزاره های حاکی از جهل را گزاره های بسامدی بشماریم، چگونه خواهیم توانست آنها را امتحان و تقویت نماییم؟

اما مساله دقیقا همین است: راز اینکه از امور محاسبه ناپذیر، یعنی از جهل، می توان نتایجی گرفت که از بسامد تجربی رویدادها خبر دهند، و اینکه دیده می شود این نتایج به نحو درخشانی تقویت می شوند، چیست؟

تئوری بسامدی نیز هنوز نتوانسته است پاسخ شایسته ای به این مساله که آنرا مساله اساسی رویدادهای تصادفی می دانند، بدهد.

3- تئوری بسامدی فون میزس

تئوری بسامدی که مبنای همه قضایای اصلی حساب احتمالات را فراهم می سازد، نخستین بار توسط ریچارد فون میزس بنا نهاده شد. نظرات بنیادین وی در ذیل مورد بحث قرار خواهند گرفت.

حساب احتمالات نظریه مدونی است درباره دنباله رویدادها یا پیشامد های تصادفی، یعنی رویدادهای تکراری مانند چندین پرتاب مکرر تاس. تصادفی بودن دنباله ها را با آوردن دو اصل موضوع تعریف می نماییم:

یکی اصل موضوع همگرایی (یا اصل موضوع وجود حد)، و دیگری اصل موضوع پریشانی. هر دنباله از رویدادها را که به هر دو اصل موضوع وفا کنند، فون میزس یک گردایه می نامد (تجربه یا آزمایش). هر گردایه دنباله ای است از رویدادها یا پیشامدهاکه عقلا ممکن است تا بی نهایت ادامه یابد. مثلا دنباله پرتاب هایی که با یک تاس نشکستنی انجام می شود یک گردایه است.

هر رویداد یک ویژگی دارد، مثلا اگر برآمد پرتاب 5 باشد بدین معناست که پرتاب دارای ویژگی 5 آمدن است. چنانچه همه پرتاب هایی که ویژگی پنج آمدن دارند، تا عضوی از اعضای دنباله بشماریم و این تعداد را بر کل پرتاب ها تا آن عضو دنباله (یعنی بر عدد ترتیبی آن عضو در دنباله) تقسیم کنیم، بسامد نسبی آمدن پنج تا آن عضو دنباله به دست می آید.

با محاسبه بسامد نسبی پنج تا یکایک اعضای دنباله، دنباله جدیدی به دست می آید که دنباله بسامدهای نسبی پنج است. دنباله بسامدها غیر از خود دنباله رویدادهاست. میان دنباله بسامدها و دنباله اصلی که دنباله رویدادها یا دنباله ویژگی ها نامیده می شود، تناظر وجود دارد.

دو گانه نمونه ساده گردایه محسوب می شود. هر دو گانه دنباله ای از رویدادها را نشان می دهد که برایشان تنها دو ویژگی متصور است. به عنوان مثال می توان دنباله ای از پرتاب های یک سکه را مثال زد. ویژگی نخست (آمدن شیر) را با عدد 1 نشان می دهیم و ویژگی دیگر یعنی (آمدن خط) را با عدد 0 نشان خواهیم داد. اینک دنباله رویدادها یا دنباله ویژگی ها را به صورت زیر می توان نوشت:

[math] {0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 …}[/math]

دنباله بسامدهای نسبی یا دنباله بسامدهای زیر نظر این دوگانه و یا به بیان دقیقتر، نظیر ویژگی اول این دو گانه است.

[math] {0,}\frac{1}{2}{,}\frac{2}{3}{,}\frac{2}{4}{,}\frac{2}{5}{,}\frac{2}{6}{,}\frac{3}{7}{,}\frac{4}{8}{,}\frac{5}{9}{,}\frac{5}{10}{,}\frac{6}{11}{,}\frac{6}{12}{,}\frac{7}{13}{,}\frac{7}{14}{,}{…}[/math]

اصل موضوع همگرایی (یا اصل موضوع وجود حد) مدعی است که هر چه طول رویدادها بلندتر شود، دنباله بسامدها به سمت حد معینی میل خواهد کرد. فون میزس با این موضوع تضمین می کند که بسامد، یک مقدار ثابت یگانه خواهد داشت. هر گردایه لااقل دارای دو ویژگی است، هر گاه حد بسامد یکایک ویژگی های گردایه ای بر ما معلوم باشد، توزیع آن گردایه در دست خواهد بود.

اصل موضوع پریشانی به منظور بیان ریاضی خصلت اتفاقی نمایی دنباله ها تدوین شده است.

احتمال در نزد فون میزس، اصطلاح دیگری است برای حد بسامد نسبی در یک گردایه، و بنابراین مفهوم احتمال را فقط در مورد دنباله رویدادها می توان به کار برد. در نظر فون میزس وظیفه حساب احتمالات جز آن نیست که از برخی گردایه های اولیه و توزیع های اولیه آنها، گردایه های ثانویه و توزیع های ثانویه را به دست آورد. به عبارت دیگر وظیفه اس این است که از روی احتمالات معلوم، احتمالات مجهول را محاسبه نماید.

4- نقد نظریه فون میزس

از هر دو اصل موضوع فون میزس انتقاد شده است. عمده ترین انتقاد متوجه تلفیق اصل موضوع همگرایی با اصل موضوع پریشانی است. چرا که به نظر می رسد کاربرد مفهوم ریاضی حد یا همگرایی در مورد دنباله ای که مطابق تعریف (بنا بر اصل موضوع پریشانی) نباید از هیچ قاعده یا قانونی ریاضی پیروی کند، نامعقول است. کامکه پیشنهاد نموده است که اصل موضوع پریشانی به کل کنار گذاشته شود. رایشنباخ معتقد بود که باید شرط ضعیف تری را جایگزین آن نمود. کارل پوپر اعتقاد دارد که اصل موضوع همگرایی به اندازه اصل موضوع پریشانی نیازمند اصلاح است. وی اعتقاد اصل موضوع پریشانی باید اصلاح گردد و اصل موضوع همگرایی به طور کامل حذف گردد. در وهله نخست، وی برای بازسازی تئوری ریاضی احتمالات قضیه برنویی (اولین قانون اعداد بزرگ) را از اصل موضوع پریشانی اصلاح شده به دست آورد و سپس به حذف اصل همگرایی و تعریف نقطه انباشت پرداخت.

نوشته حاضر از کتاب منطق اکتشاف علمی به نویسندگی کارل ریموند پوپر و با ترجمه سید حسین کمالی و از انتشارات علمی فرهنگی برداشت شده است.